[tex]1)\:\:\:\:\:\:\:\:\lim _{n\to \infty \:}\left(\frac{2n-3}{5+4n}\right)[/tex]
Пошаговое решение:
[tex]\lim _{n\to \infty \:}\left(\frac{2n-3}{5+4n}\right)[/tex]
Разделите на высшую знаменательную силу 'n'
[tex]=\frac{\frac{2n}{n}-\frac{3}{n}}{\frac{5}{n}+\frac{4n}{n}}[/tex]
[tex]=\frac{2-\frac{3}{n}}{\frac{5}{n}+4}[/tex]
так
[tex]=\lim _{n\to \infty \:}\left(\frac{2-\frac{3}{n}}{\frac{5}{n}+4}\right)[/tex]
[tex]\lim _{x\to a}\left[\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right]=\frac{\lim _{x\to a}f\left(x\right)}{\lim _{x\to a}g\left(x\right)},\:\quad \lim _{x\to a}g\left(x\right)\ne 0[/tex]
[tex]=\frac{\lim _{n\to \infty \:}\left(2-\frac{3}{n}\right)}{\lim _{n\to \infty \:}\left(\frac{5}{n}+4\right)}[/tex]
так как
[tex]\lim _{n\to \infty \:}\left(2-\frac{3}{n}\right)[/tex]
[tex]\lim _{x\to a}\left[f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right]=\lim _{x\to a}f\left(x\right)\pm \lim _{x\to a}g\left(x\right)[/tex]
[tex]=\lim _{n\to \infty \:}\left(\left(2\right)-\lim _{n\to \infty \:}\left(\frac{3}{n}\right)\right)[/tex]
[tex]\lim _{n\to \infty \:}\left(2\right)=2[/tex]
[tex]\lim _{n\to \infty \:}\left(2\right)=2[/tex]
[tex]=2-0[/tex]
[tex]=2[/tex]
также
[tex]\lim _{n\to \infty \:}\left(\frac{5}{n}+4\right)=4[/tex]
Следовательно
[tex]=\lim _{n\to \infty \:}\left(\frac{2-\frac{3}{n}}{\frac{5}{n}+4}\right)[/tex]
[tex]=\frac{2}{4}[/tex]
[tex]=\frac{1}{2}[/tex]
∵ [tex]\lim _{n\to \infty \:}\left(\frac{2n-3}{5+4n}\right)=\frac{1}{2}[/tex]
[tex]2)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\lim _{n\to \infty \:}\left(\frac{4n^2-3n+5}{7-2n^2}\right)[/tex]
Пошаговое решение:
[tex]\lim _{n\to \infty \:}\left(\frac{4n^2-3n+5}{7-2n^2}\right)[/tex]
Разделите на высшую знаменательную силу 'n²'
[tex]=\lim _{n\to \infty \:}\left(\frac{4-\frac{3}{n}+\frac{5}{n^2}}{\frac{7}{n^2}-2}\right)[/tex]
[tex]\lim _{x\to a}\left[\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right]=\frac{\lim _{x\to a}f\left(x\right)}{\lim _{x\to a}g\left(x\right)},\:\quad \lim _{x\to a}g\left(x\right)\ne 0[/tex]
[tex]=\frac{\lim _{n\to \infty \:}\left(4-\frac{3}{n}+\frac{5}{n^2}\right)}{\lim _{n\to \infty \:}\left(\frac{7}{n^2}-2\right)}[/tex]
так как
[tex]\lim _{n\to \infty \:}\left(4-\frac{3}{n}+\frac{5}{n^2}\right)=4[/tex]
и
[tex]\lim _{n\to \infty \:}\left(\frac{7}{n^2}-2\right)=-2[/tex]
так
[tex]=\lim _{n\to \infty \:}\left(\frac{4-\frac{3}{n}+\frac{5}{n^2}}{\frac{7}{n^2}-2}\right)[/tex]
[tex]=\frac{4}{-2}[/tex]
[tex]=-2[/tex]
∵ [tex]\lim _{n\to \infty \:}\left(\frac{4n^2-3n+5}{7-2n^2}\right)=-2[/tex]
1)
[tex]\lim \:_{x\to \:1\:\:}\left(\frac{4x-2}{2x^2+3x+7}\right)[/tex]
Пошаговое решение:
[tex]\lim _{x\to \:1\:\:}\left(\frac{4x-2}{2x^2+3x+7}\right)[/tex]
Положил x = 1
[tex]=\frac{4\cdot \:1-2}{2\cdot \:1^2+3\cdot \:1+7}[/tex]
[tex]=\frac{2}{2\cdot \:1+3\cdot \:1+7}[/tex]
[tex]=\frac{2}{12}[/tex] ∵ [tex]2\cdot \:1+3\cdot \:1+7=12[/tex]
[tex]=\frac{1}{6}[/tex]
∵ [tex]\lim _{x\to \:1}\left(\frac{4x-2}{2x^2+3x+7}\right)=\frac{1}{6}[/tex]
2)
[tex]\lim _{x\to \:1\:\:}\left(\frac{2x^2-5x+3}{x^2-1}\right)[/tex]
Пошаговое решение:
[tex]\lim _{x\to \:1}\left(\frac{2x^2-5x+3}{x^2-1}\right)[/tex]
Решить
[tex]\frac{2x^2-5x+3}{x^2-1}[/tex]
так как
[tex]2x^2-5x+3:\quad \left(x-1\right)\left(2x-3\right)[/tex]
[tex]x^2-1:\quad \left(x+1\right)\left(x-1\right)[/tex]
так
[tex]=\frac{\left(x-1\right)\left(2x-3\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}[/tex]
[tex]=\frac{2x-3}{x+1}[/tex]
Итак, уравнение:
[tex]=\lim _{x\to \:1}\left(\frac{2x-3}{x+1}\right)[/tex]
Положил x = 1
[tex]=\frac{2\cdot \:1-3}{1+1}[/tex]
[tex]=-\frac{1}{2}[/tex]
∵ [tex]\lim _{x\to \:1}\left(\frac{2x^2-5x+3}{x^2-1}\right)=-\frac{1}{2}[/tex]
3)
[tex]\lim _{x\to \:3}\left(\frac{\sqrt{x+5}-3}{x-3}\right)[/tex]
Пошаговое решение:
[tex]\lim _{x\to \:3}\left(\frac{\sqrt{x+5}-3}{x-3}\right)[/tex]
[tex]\mathrm{If\:}\lim _{x\to a-}f\left(x\right)\ne \lim _{x\to a+}f\left(x\right)\mathrm{\:then\:the\:limit\:does\:not\:exist}[/tex]
так как
[tex]\lim _{x\to \:3+}\left(\frac{\sqrt{x+5}-3}{x-3}\right)=-\infty \:[/tex]
и
[tex]\lim _{x\to \:3-}\left(\frac{\sqrt{x+5}-3}{x-3}\right)=\infty \:[/tex]
так
[tex]\lim _{x\to \:3}\left(\frac{\sqrt{x+5}-3}{x-3}\right)=\mathrm{diverges}[/tex] ∵ diverges mean 'расходится'
4)
[tex]\lim _{x\to \:0\:\:}\left(\frac{sin\:4x}{x}\right)[/tex]
Пошаговое решение:
[tex]\lim _{x\to \:0}\left(\frac{\sin \left(4x\right)}{x}\right)[/tex]
Apply L'Hopital's Rule
[tex]=\lim _{x\to \:0}\left(\frac{\cos \left(4x\right)\cdot \:4}{1}\right)[/tex]
[tex]=\lim _{x\to \:0}\left(4\cos \left(4x\right)\right)[/tex]
Положил x = 0
[tex]=4\cos \left(4\cdot \:0\right)[/tex]
[tex]=4[/tex] ∵ [tex]4\cos \left(4\cdot \:0\right):\quad 4[/tex]
5)
[tex]\lim \:_{x\to \:\infty \:\:}\left(\frac{2x^2-5x+3}{x^2-1}\right)[/tex]
Пошаговое решение:
Check the attached diagram for the solution of this question.
(Проверьте прилагаемую диаграмму для решения этого вопроса.)
